从数学的角度理解风险

FRM职业发展 | 2018-08-24

何谓风险，有的人喜欢把风险看做一种不确定性，有的人更关注损失，喜欢把它看成一种损失的不确定性。但目前学术界关于它的共识是，风险一种不确定性。

那么接下来，根据现实中的风险来源，我们可以把常见的金融风险分为以下具体的种类：

①市场风险：由价格、利率行情波动等造成的

②信用风险：不履行偿债等义务

③操作风险：人、系统、外部事件、内部欺诈造成的

④模型风险：由数学模型中的错误带来的损失可能性，通常发生在结构复杂的衍生品市场。

……

回顾一下FRM第二门课，数量分析，我们可以先站在中心矩的角度上展开思考，概率论研究的中心是期望，也就是一阶中心距，然后通过二阶、三阶、四阶中心矩，通过围绕期望，我们可以得到方差、偏度、峰度，从而对一个分布有比较好的描述。也就是说，我们可以通过一大堆的收益损失数据，得到一个分布，然后再作进一步研究。》》更多FRM相关问题点我了解

但现在问题是，在对总体做研究之前，总体的分布往往是未知的，而且总体的数据量很大。那么这时候，我们可以抽样，通过样本假设检验总体特征，但是样本的分布也是未知的，不过没关系，我们可以使用中心极限定理，当样本量较大，样本之间是独立同分布的，那么样本的均值服从正态分布，通过样本均值的分布再做进一步研究。

不过解决了一类问题，还有另一类问题，之前一类问题是总体数据量太大，分布未知，还有一类问题是总体数据量极少，分布未知，没有数据，这个怎么理解。典型的例子是当我们研究极少发生的事件，或是此前从未发生的事件时，概率变得失效了。例如，我们可能对外星人闯地球后的结果有诸多详尽猜想，但是，这一事件发生的概率是多少呢？“不知道”。当人们对概率一无所知时，就出现了所谓Knight（1921年）所说的：“不确定性”

Knight（1921年）对风险的“随机性和不确定性”进行了详细描述，厘清如下：

For‘risk’theprobabilitiesthatspecifiedeventswilloccurinthefuturearemeasurableandknown,i.e.thereisrandomnessbutwithaknownprobabilitydistribution.

Thiscanbefurtherdivided.

（a）Aprioririsk,suchastheoutcomeoftherollofafairdie

（b）Estimablerisk,wheretheprobabilitiescanbeestimatedthroughstatisticalanalysisofthepast,forexample,theprobabilityofaone-dayfallof10%intheS&Pindex.With‘uncertainty’theprobabilitiesoffutureeventscannotbeestimatedorcalculated.

在金融中，研究人员倾向于讨论第一种情况，也就是用概率论估计风险，并且用统计和概率的方法量化风险的各个方面。在一些模型中，我们会讨论第二种情况—“不确定性”。例如，Avellaneda等人（1995）对不确定的波动率的论述，即，波动率是不确定的，属于某个既定区间，并且波动率的分布也没有给定。现在，问题变成了一个极端的问题。因此，不确定性和压力测试问题更为接近。崩盘度量术（CrashMetrics）是另一个极端的、不确定问题。

数学上对于风险定义的起点是标准差。这背后是有理可依的：中心极限定理（CentralLimitTheorem，CLT），指当有大量的投资样本，并满足一些统计上的性质，那么投资组合的收益率为正态分布：关于平均值对称，并且可以利用标准差来计算潜在损失。

上述方法当且仅当CLT满足时才是有意义的。若只有很少的投资样本，或者说各个投资样本之间是相关的，或者方差是无限的等待，那么标准差大概不合适。

另一个关于风险的数学定义是半方差（semivariance），在计算中，只有向下的偏离才会被使用（损失），例如Sortino比率。

Artzner（1997）提出了风险指标有意义的一系列性质，满足这一系列性质的风险指标被称为“一致的”，即为一致风险测度（coherentriskmeasure）。

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